（数学教师：王亓妍）近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式
曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解。这是解决变量取值范围常见的策略和方法。
例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0)， A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)
求证：-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
分析：先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解。
解：设A，B坐标分别为(x1，y1) ，(x2，y2)，(x1≠x2)代入椭圆方程，作差得： y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1
又∵线段AB的垂直平分线方程为
y -y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )
令y=0得 x0=x1+x22 a2-b2a2
又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点
∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2以及-a≤x1+x22≤a
∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围。
分析：须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题。
解：依题意有
∴tanθ=2S
∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4
又∵0≤θ≤π
∴π4 <θ< p>
例3 对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P(a，0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是 ( )
A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>
分析：直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解。
解：设Q( y024，y0) 由|PQ| ≥a
得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0
∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立
又∵ y02≥0
而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )
二、利用判别式构造不等式
在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解。
例4 设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是( )
A [-12，12 ] B [-2，2] C [-1，1] D [-4，4]
分析：由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0
解：依题意知Q坐标为(-2，0)，则直线L的方程为y = k(x+2)
由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0
∵直线L与抛物线有公共点
∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)
例5 直线L：y = kx+1与双曲线C：2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围。
分析：利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式。
解：由 得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0
∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则
解得 -2<-2< p>
三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式
曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0，y0)与曲线方程f(x，y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0，y0)=0；若P在曲线内，则f(x0，y0)<0；若P在曲线外，则f(x0，y0)>0；可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题。
例6 已知椭圆2x2 + y2 = a2 (a>0)与连结两点A(1，2)、B(2，3)的线段没有公共点，求实数a的取值范围。
分析：结合点A,B及椭圆位置，可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件。
解：依题意可知，当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。
当A、B同时在椭圆内，则
解得a >17
当A、B同时在椭圆外，则
解得0<6< p>
综上所述，解得0<6 或a>17
例7 若抛物线y2=4mx (m≠0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部，求实数m的取值范围。
分析：由于焦点(m，0)在圆内部，则把(m，0)代入可得。
解：∵抛物线的焦点F(m，0)在圆的内部，
∴(m-2m)2+(0-1)2<4 即m2<3
又∵m≠0
∴-3 <0或0<3< p>
四、利用三角函数的有界性构造不等式
曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。
例8 若椭圆x2+4(y-a)2 = 4与抛物线x2=2y有公共点，
求实数a的取值范围。
分析：利用椭圆的参数方程及抛物线方程，得到实数a与参数θ的关系，再利用三角函数的有界性确定a的取值情况。
解：设椭圆的参数方程为 (θ为参数)
代入x2=2y 得
4cos2θ= 2(a+sinθ)
∴a = 2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+ 14 )2+ 178
又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178
例9 已知圆C：x2 +(y-1)2= 1上的点P(m，n)，使得不等式m+n+c≥0恒成立，求实数c的取值范围。
分析：把圆方程变为参数方程，利用三角函数的有界性，确定m+n的取值情况，再确定c的取值范围。
解：∵点P在圆上，∴m = cosβ，n = 1+sinβ(β为参数)
∵m+n = cosβ+1+sinβ = 2 sin(β+ π4 )+1
∴m+n最小值为1-2，
∴-(m+n)最大值为2 -1
又∵要使得不等式c≥-(m+n) 恒成立
∴c≥2 -1
五、利用离心率构造不等式
我们知道，椭圆离心率e∈(0，1)，抛物线离心率e = 1，双曲线离心率e>1，因而可利用这些特点来构造相关不等式求解。
例10 已知双曲线x2-3y2 = 3的右焦点为F，右准线为L，直线y=kx+3通过以F为焦点，L为相应准线的椭圆中心，求实数k的取值范围。
分析：由于椭圆中心不在原点，故先设椭圆中心，再找出椭圆中各量的关系，再利用椭圆离心率0<1，建立相关不等式关系求解。< p>
解：依题意得F的坐标为(2，0)，L：x = 32
设椭圆中心为(m，0)，则 m-2 =c和 m-32 = a2c
两式相除得：m-2m-32 = c2a2 = e2
∵0<1，∴0<1，解得m>2，
又∵当椭圆中心(m，0)在直线y=kx+3上，
∴0 = km+3，即m = - 3k，
∴- 3k >2，解得-32 <0< p>
上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法，希望通过以上的介绍，能让同学们了解这类问题的常用求法，并能认真体会、理解掌握，在以后的学习过程中能够灵活运用。
